Question

5．若向量$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂，z₂），則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$共線的充分不必要條件．

Answer 1

分析 根據(jù)充分性和必要性的定義證明判斷即可．

解答 解：不妨設(shè)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=λ
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，z₁=λz₂，
∴$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁，z₁）=λ（x₂，y₂，z₂）=λ$\overrightarrow$，
∴向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$共線，
不妨令x₁=0，y₂=y₁，z₂=z₁，不滿足$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$，必要性不成立；
所以是充分不必要條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分與必要條件的判斷問題，也考查了空間向量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．