Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+3lnx，g（x）=-bx$，其中a，b∈R．設(shè)h（x）=f（x）-g（x），若$f'（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=0$，且f′（1）=g（-1）-2．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)h（x）的圖象在點(diǎn)（1，-4）處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用已知條件列出方程即可求出a，b的值．
（2）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，切線的斜率，即可求解切線方程．

解答 解：（1）因?yàn)?{f^/}（x）=ax+\frac{3}{x}$，所以f′（1）=a+3．
由f′（1）=g（-1）-2可得b=a+5，又${f^'}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=0$，
所以${f^/}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a+3\sqrt{2}=0$，
所以a=-6，b=-1．
（2）h（x）=-3x²+3lnx-x點(diǎn)（1，-4）為切點(diǎn)，
故${h^/}（x）=-6x+\frac{3}{x}-1$，
斜率k=h′（1）=-4，
故切線方程為y=-4x．

點(diǎn)評 本題考查切線方程的求法，函數(shù)的解析式的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．