Question

7．對于實數(shù)a，b，定義運算“?”：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-ab，a≤b\\^{2}-ab，a＞b\end{array}\right.$，設(shè)f（x）=（2x-1）?（x-1），且關(guān)于x的方程f（x）-m=0恰有三個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意確定函數(shù)的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-x，x≤0\\ x-{x}^{2}，x＞0\end{array}\right.$，畫出函數(shù)的圖象從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時m的取值范圍．

解答 解：由 2x-1≤x-1 可得 x≤0，由 2x-1＞x-1 可得 x＞0．
∴根據(jù)題意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2{x-1）}^{2}-（2x-1）（x-1），x≤0\\（{x-1）}^{2}-（2x-1）（x-1），x＞0\end{array}\right.$．
即 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-x，x≤0\\ x-{x}^{2}，x＞0\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)的圖象，從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，

函數(shù)的圖象和直線y=m有三個不同的交點．
再根據(jù)函數(shù)的極大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
可得m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題