Question

9．解不等式：ax²+（a+1）x+1＞0．

Answer 1

分析 將原不等式化為（x+1）（ax+1）＞0，再對(duì)參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行討論，從而求出不等式的解集．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，解得x＞-1．                             
當(dāng)a≠0時(shí)，ax²+（a+1）x+1＞0等價(jià)于（x+1）（ax+1）＞0等價(jià)于a（x+1）（x+$\frac{1}{a}$）＞0．
當(dāng)a＜0時(shí)，即為（x+1）（x+$\frac{1}{a}$）＜0，解得-1＜x＜-$\frac{1}{a}$．               
當(dāng)a＞0時(shí)，即為（x+1）（x+$\frac{1}{a}$）＞0
當(dāng)a=1時(shí)，解得x≠-1．                                                
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得x＜-$\frac{1}{a}$，或x＞-1．
當(dāng)a＞1時(shí)，x＜-1，或x＞-$\frac{1}{a}$．                                      
∴當(dāng)a＜0時(shí)，解集是（-1，-$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)a=0時(shí)，解集是（-1，+∞）；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，解集是（-∞，-$\frac{1}{a}$）∪（-1，+∞）
當(dāng)a＞1時(shí)，解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{a}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式的求解，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是討論的標(biāo)準(zhǔn)，屬于中檔題．