Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$，方程f（x）-ax=0恰有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{ln2}{2}，\frac{1}{e}）$
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（\frac{1}{e}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 作函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$與y=ax的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合的思想求解，求臨界直線的斜率即可．

解答 解：作函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$與y=ax的圖象如下，
，
直線l是y=lnx的切線，設(shè)切點(diǎn)為（x，lnx），
故$\frac{lnx}{x}$=（lnx）′=$\frac{1}{x}$，
故x=e，
故k_l=$\frac{1}{e}$；
直線m過(guò)點(diǎn)（2，ln2），
故k_m=$\frac{ln2}{2}$；
結(jié)合圖象可知，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．