Question

12．若函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小值為-2，且它的圖象經過點（0，$\sqrt{3}$）和（$\frac{5π}{6}$，0），且函數f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調遞增．
（I）求f（x）的解析式；
（H）若x∈[0，$\frac{5π}{8}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）依題意，易求A=2，φ=$\frac{π}{3}$；又它的圖象經過點（$\frac{5π}{6}$，0），可得：$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．分點（$\frac{5π}{6}$，0）為半周期點與整周期點討論，即可求得滿足條件的函數解析式，f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），最大的值點ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$⇒x=$\frac{π}{6ω}$，令 $\frac{π}{6ω}$≥$\frac{π}{6}$，可解得ω的取值范圍，從而可得函數所有可能的解析式；
（Ⅱ）利用正弦函數的圖象和性質，可求得f（x）的值域．

解答 解：（I）依題意知，A=2，f（0）=2sinφ=$\sqrt{3}$，即sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）；
又它的圖象經過點（$\frac{5π}{6}$，0），
∴$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．
當點（$\frac{5π}{6}$，0）為半周期點時，$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=π⇒ω=$\frac{4}{5}$；
當點（ $\frac{5π}{6}$，0）為整周期點時，$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=2π⇒ω=2．
∴滿足條件的函數解析式為f（x）=2sin（$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$）或f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
設函數f（x）在（0，$\frac{π}{6}$]上單調遞增，
∵f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
最大的值點ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$⇒x=$\frac{π}{6ω}$，
令$\frac{π}{6ω}$≥$\frac{π}{6}$，解得0＜ω≤1；
∴函數f（x）在（0，$\frac{π}{6}$]上單調遞增，ω取值范圍為ω∈（0，1]，
∵ω=$\frac{4}{5}$＜1滿足題意，ω=2＞1不滿足題意，
綜上：滿足題意，且在（0，$\frac{π}{6}$]上單調遞增的函數解析式只有f（x）=2sin（$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{5π}{8}$]，
∴$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）=2sin（$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查正弦函數的單調性與最值，考查綜合分析與應用能力，屬于難題．