Question

17．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過原點(diǎn)，并交x軸于A（-6，0），拋物線的頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-$\sqrt{3}$．
（1）求拋物線解析式，并求其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△AQ0與△AOB相似，如果存在．請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x=0，y=0；x=-6，y=0，對稱軸為x=-3，此時y=-$\sqrt{3}$，代入二次函數(shù)解析式，解方程組即可得到所求解析式，以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）討論當(dāng)Q與B重合，顯然成立；不重合，求得△AOB的形狀，討論Q在第一象限、第二象限，由任意角的三角函數(shù)的定義，即可求得Q的坐標(biāo)，即可判斷存在．

解答 解：（1）由題意可得x=0，y=0；x=-6，y=0，
對稱軸為x=-3，此時y=-$\sqrt{3}$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{36a-6b+c=0}\\{9a-3b+c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
可得二次函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，B（-3，-$\sqrt{3}$）；
（2）當(dāng)Q與B重合，△AQ0與△AOB相似；
當(dāng)Q與B不重合，由△AOB為等腰三角形，
且tan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得∠AOB=30°，∠ABO=120°，
若△AQ0與△AOB相似，
當(dāng)Q在第二象限時，則∠QAO=120°，且△AQO為等腰三角形，
即有|AQ|=6，Q（-6-6cos60°，6sin60°），即為Q（-9，3$\sqrt{3}$）；
當(dāng)Q在第一象限時，則∠QOA=120°，且△AQO為等腰三角形，
即有|OQ|=6，Q（6cos60°，6sin60°），即為Q（3，3$\sqrt{3}$）．
綜上可得，在拋物線上存在點(diǎn)Q，且為（-3，-$\sqrt{3}$），或（-9，-3$\sqrt{3}$），（3，3$\sqrt{3}$），
使得△AQ0與△AOB相似．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查三角形的相似，注意運(yùn)用三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．