Question

4．函數(shù)g（x）=2cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到h（x）的圖象，設(shè)f（x）=$\frac{1}{4}$x²+h（x），則f′（x）的圖象大致為（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先研究函數(shù)的奇偶性知它是奇函數(shù)，從而排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由x=-$\frac{π}{2}$時(shí)，f′（0）＞0，排除C，即可得解．

解答 解：∵g（x）=2cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=cos2x，
∴將函數(shù)g（x）的圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到h（x）=cosx的圖象，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+h（x）=$\frac{1}{4}$x²+cosx，可得：f′（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，
∴可得：f′（-x）=$\frac{1}{2}$（-x）-sin（-x）=-（$\frac{1}{2}$x-sinx）=-f′（x），
故此函數(shù)奇函數(shù)，排除B，D．
又當(dāng)x=-$\frac{π}{2}$時(shí)，f′（0）=-$\frac{1}{2}×\frac{π}{2}$+1=1-$\frac{π}{4}$＞0，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的圖象，排除C．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力，屬于中檔題．