Question

17．如圖所示，某服裝設計師要在一塊條形布料上畫一個等邊△ABC作為點綴，使A、B、C三點分別落在條形布料的線條上，已知條形布料相鄰橫線間的距離為3厘米，則等邊△ABC的邊長應為2$\sqrt{21}$厘米．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的定義和已知題意結合圖象可得$\frac{3}{sinα}=\frac{9}{cos（30°-α）}$，結合sin²α+cos²α=1可解得sinα的值，進而可得等邊△ABC的邊長AB=$\frac{3}{sinα}$，代值計算可得．

解答 解：如圖所示，在RT△ABD中$\frac{BD}{AB}$=sinα，∴AB=$\frac{BD}{sinα}$=$\frac{3}{sinα}$，
同理在RT△ACE中$\frac{AE}{AC}$=cos∠CAE=cos[90°-（α+60°-）]=cos（30°-α），
∴AC=$\frac{AE}{cos（30°-α）}$=$\frac{9}{cos（30°-α）}$，
∴$\frac{3}{sinα}=\frac{9}{cos（30°-α）}$，即cos（30°-α）=3sinα，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα=3sinα，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{5}{2}$sinα，
結合sin²α+cos²α=1可解得sinα=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴等邊△ABC的邊長AB=$\frac{3}{sinα}$=2$\sqrt{21}$
故答案為：2$\sqrt{21}$

$2\sqrt{21}$

點評 本題考查三角形中的幾何運算，涉及三角函數(shù)的定義和和差角的三角函數(shù)，屬中檔題．