Question

13．用1、2、3、4、5、6共6個數(shù)字，按要求組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)（用排列數(shù)表示）．
（1）組成多少個3位數(shù)？
（2）組成多少個3位偶數(shù)？
（3）組成數(shù)字1、2相鄰的5位偶數(shù)有多少個？
（4）組成能被3整除的三位數(shù)有多少個？
（5）組成1、3都不與5相鄰的六位數(shù)有多少個？
（6）組成個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)有多少個？

Answer 1

分析 （1）選3個全排即可；
（2）第一步確定個位，第二步確定百位和十位，問題得以解決；
（3）第一類，2為個位數(shù)字，第二類，4或6為個位數(shù)字，再從剩下的3個數(shù)中選2個和1，2捆綁在一起組成一個復(fù)合元素全排，問題得以解決；
（4）組成能被3整除的三位數(shù)的三個數(shù)字之和為3的倍數(shù)，有1+2+3=6，1+2+6=9，1+3+5=9，1+5+6=12，2+3+4=9，2+4+6=12，3+4+5=12，4+5+6=15，問題得以解決；
（5）若1，3不相鄰，把1，3，5插入到2，4，6形成4個空中；若1，3相鄰，把1，3捆綁在一起組成一個復(fù)合元素和5插入到2，4，6形成4個空中，問題得以解決；
（6）組成個位數(shù)字小于十位數(shù)的大小順序只有兩種，問題得以解決．

解答 解：（1）選3個全排，故有A₆³個；
（2）第一步確定個位，第二步確定百位和十位，故有A₃¹A₅²個；
（3）第一類，2為個位數(shù)字，則有A₄³個，第二類，4或6為個位數(shù)字，再從剩下的3個數(shù)中選2個和1，2捆綁在一起組成一個復(fù)合元素全排，則有A₂¹A₂²C₃²A₃³個，
故組成數(shù)字1、2相鄰的5位偶數(shù)有A₄³+A₂¹A₂²C₃²A₃³個；
（4）組成能被3整除的三位數(shù)的三個數(shù)字之和為3的倍數(shù)，有1+2+3=6，1+2+6=9，1+3+5=9，1+5+6=12，2+3+4=9，2+4+6=12，3+4+5=12，4+5+6=15，
故組成能被3整除的三位數(shù)，8A₃³個；
（5）若1，3不相鄰，把1，3，5插入到2，4，6形成4個空中，則有A₃³A₄³個；
若1，3相鄰，把1，3捆綁在一起組成一個復(fù)合元素和5插入到2，4，6形成4個空中，則有A₂²A₃³A₄²個，故組成1、3都不與5相鄰的六位數(shù)有A₃³A₄³+A₂²A₃³A₄²個；
（6）組成個位數(shù)字小于十位數(shù)的大小順序只有兩種，故組成個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)有$\frac{1}{2}$A₆⁶個．

點評 本題考查了排列組合的問題，掌握特殊元素優(yōu)先處理，屬于中檔題．