Question

3．已知3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（-2，0，4），$\overrightarrow{c}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，且|$\overrightarrow$|=4．
（1）求cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞；
（2）記$\overrightarrowv8kapv3$=（-2，0，4），確定實(shí)數(shù)k，使得（$\overrightarrowvb0pxl8$+k$\overrightarrow{c}$）與（$\overrightarrows8x8qm0$-2$\overrightarrow{c}$）互相垂直．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的模的計(jì)算和空間向量的夾角公式即可求出；
（2）互相垂直的兩向量的坐標(biāo)，將垂直用內(nèi)積為零表示出，得到參數(shù)k的方程，解得即可．

解答 解：（1）3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（-2，0，4），$\overrightarrow{c}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，
∴（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=4+0+8=12，
∴$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=-3，
∵|$\overrightarrow$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{4+1+4}$=3，
∴cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-3}{4×3}$=-$\frac{1}{4}$
（2）∵$\overrightarrowvr8lb8r$=（-2，0，4），$\overrightarrow{c}$=（-2，1，2），
∴|$\overrightarrowrekbyck$|=$\sqrt{（-2）^{2}+0+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=3，$\overrightarrowdyhflq8$•$\overrightarrow{c}$=12
∴（$\overrightarrowg5iyoml$+k$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrowtzxn8ym$-2$\overrightarrow{c}$）=|$\overrightarrowbxvagmu$|²+（k-2）$\overrightarrowgcagejf•\overrightarrow{c}$-2k|$\overrightarrow{c}$|²=20+12（k-2）-18k=-6k-4，
∵使得（$\overrightarrowg66tzzz$+k$\overrightarrow{c}$）與（$\overrightarrowet0ucxl$-2$\overrightarrow{c}$）互相垂直，
∴（$\overrightarrowt2a6fnj$+k$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrowkgkqn8w$-2$\overrightarrow{c}$）=-6k-4=0，
解得k=-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查是向量的數(shù)量積的運(yùn)算，夾角公式，模的計(jì)算，垂直的條件，屬于中檔題．