Question

17．經(jīng)測定某點處的光照強度與光的強度成正比，與到光源距離的平方成反比，比例常數(shù)為k（k＞0），現(xiàn)已知相距3m的A，B兩光源的光的強度分別為a，b，它們連線上任意一點C（異于A，B）處的光照強度y等于兩光源對該處光源強度之和，設(shè)AC=x（m），已知x=1時點C處的光照強度是$\frac{33k}{4}$，x=2時點C處的光照強度是3k．
（1）試將y表示為x的函數(shù)，并給出函數(shù)的定義域；
（2）問AB連線上何處光照強度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由AC=x，可得BC=3-x，由題意可得y=$\frac{ka}{{x}^{2}}+\frac{kb}{（3-x）^{2}}$，代入x=1，y=$\frac{33k}{4}$；x=2，y=3k，解方程可得a，b，即可得到所求函數(shù)的解析式和定義域；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，即可得到所求函數(shù)的最小值及相應x的值．

解答 解：（1）由AC=x，可得BC=3-x，
由題意得y=$\frac{ka}{{x}^{2}}+\frac{kb}{（3-x）^{2}}$，
又x=1時，y=$\frac{33k}{4}$，即$\frac{33k}{4}=ka+\frac{kb}{4}$，
即為4a+b=33；
x=2時，y=3k，即3k=$\frac{ka}{4}+bk$，
即為a+4b=12．
解得a=8，b=1．
所以y=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$，函數(shù)的定義域為（0，3）；
（2）函數(shù)y=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$的導數(shù)為
$y′=-\frac{16k}{{x}^{3}}+\frac{2k}{（3-x）^{3}}$=$\frac{18k（x-2）（{x}^{2}-6x+12）}{{x}^{3}（3-x）^{3}}$，
由y′=0，
解得x=2．                                              
當0＜x＜2時，y′＜0，函數(shù)y遞減；當2＜x＜3時，y′＞0，函數(shù)y遞增．             
因此x=2時，y取得極小值，且是最小值，最小值為3k．
故AB連線上AC=2m處光照強度最小，最小值為3k．

點評 本題考查函數(shù)的解析式和最值的求法，注意運用待定系數(shù)法和導數(shù)，判斷單調(diào)性可得最值，考查運算能力，屬于中檔題．