Question

17．經(jīng)測(cè)定某點(diǎn)處的光照強(qiáng)度與光的強(qiáng)度成正比，與到光源距離的平方成反比，比例常數(shù)為k（k＞0），現(xiàn)已知相距3m的A，B兩光源的光的強(qiáng)度分別為a，b，它們連線上任意一點(diǎn)C（異于A，B）處的光照強(qiáng)度y等于兩光源對(duì)該處光源強(qiáng)度之和，設(shè)AC=x（m），已知x=1時(shí)點(diǎn)C處的光照強(qiáng)度是$\frac{33k}{4}$，x=2時(shí)點(diǎn)C處的光照強(qiáng)度是3k．
（1）試將y表示為x的函數(shù)，并給出函數(shù)的定義域；
（2）問(wèn)AB連線上何處光照強(qiáng)度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由AC=x，可得BC=3-x，由題意可得y=$\frac{ka}{{x}^{2}}+\frac{kb}{（3-x）^{2}}$，代入x=1，y=$\frac{33k}{4}$；x=2，y=3k，解方程可得a，b，即可得到所求函數(shù)的解析式和定義域；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，即可得到所求函數(shù)的最小值及相應(yīng)x的值．

解答 解：（1）由AC=x，可得BC=3-x，
由題意得y=$\frac{ka}{{x}^{2}}+\frac{kb}{（3-x）^{2}}$，
又x=1時(shí)，y=$\frac{33k}{4}$，即$\frac{33k}{4}=ka+\frac{kb}{4}$，
即為4a+b=33；
x=2時(shí)，y=3k，即3k=$\frac{ka}{4}+bk$，
即為a+4b=12．
解得a=8，b=1．
所以y=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3）；
（2）函數(shù)y=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為
$y′=-\frac{16k}{{x}^{3}}+\frac{2k}{（3-x）^{3}}$=$\frac{18k（x-2）（{x}^{2}-6x+12）}{{x}^{3}（3-x）^{3}}$，
由y′=0，
解得x=2．                                              
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增．             
因此x=2時(shí)，y取得極小值，且是最小值，最小值為3k．
故AB連線上AC=2m處光照強(qiáng)度最小，最小值為3k．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式和最值的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法和導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性可得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．