Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|x+a|
（1）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）≤$\frac{1}{2}$；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤a解集為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），得到關(guān)于f（x）的分段函數(shù)，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，得到|a-2|≤a，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=|x+2|-|x+3|，
$f（x）≤\frac{1}{2}$$|{x+2}|-|{x+3}|≤\frac{1}{2}$$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（{x+2}）+（{x+3}）≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
或$\left\{{\begin{array}{l}{-3＜x＜-2}\\{-（{x+2}）-（{x+3}）≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
或 $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{（{x+2}）-（{x+3}）≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{1≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{-3＜x＜-2}\\{x≥-\frac{11}{4}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{-1≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$φ或$-\frac{11}{4}≤x＜-2$或x≥-2，
故不等式的解集為：$\left\{{x\left|{x≥-\frac{11}{4}\left.{\;}\right\}}\right.}\right.$；                              
（2）由x的不等式f（x）≤a解集為R，
得函數(shù)f（x）_max≤a，
∵||x+2|-|x+a||≤|（x+2）-（x+a）|=|2-a|=|a-2|（當(dāng)且僅當(dāng)（x+2）（x+a）≥0取“=”）
∴|a-2|≤a，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≤2}\\{-（a-2）≤a}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a-2≤a}\end{array}}\right.$，
解得：a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查求函數(shù)的最大值，是一道中檔題．