Question

16．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對于任意正整數(shù)n，當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}^{2}$+b_n${a}_{n-1}^{2}$=2n+1．
（1）若b_n=（-1）ⁿ，求${a}_{1}^{2}$+${a}_{3}^{2}+{a}_{5}^{2}$+…+${a}_{11}^{2}$的值；
（2）若b_n=-1，a₁=2，且數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
①求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②是否存在k∈N^*且k≥2，使得$\sqrt{{a}_{2k-1}{a}_{2k-2}+19}$為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在已知數(shù)列遞推式中分別取n為2，3，…，11，累加可得${a}_{1}^{2}$+${a}_{3}^{2}+{a}_{5}^{2}$+…+${a}_{11}^{2}$的值；
（2）①利用累加法求得${{a}_{n}}^{2}$，開方后求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②由數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_2k-1a_2k-2，得到${a}_{2k-1}{a}_{2k-2}+19=2k（2k-1）+19=4{k}^{2}-2k+19$，由k=3時(shí)4k²-2k+19是自然數(shù)的完全平方數(shù)，可知$\sqrt{{a}_{2k-1}{a}_{2k-2}+19}$是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

解答 解：（1）由b_n=（-1）ⁿ，${a}_{n}^{2}$+b_n${a}_{n-1}^{2}$=2n+1，得
${{a}_{n}}^{2}+（-1）^{n}{{a}_{n-1}}^{2}=2n+1$（n≥2），
∴${{a}_{2}}^{2}+{{a}_{1}}^{2}=2×2+1$，${{a}_{3}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}=2×3+1$，${{a}_{4}}^{2}-{{a}_{3}}^{2}=2×4+1$，
${{a}_{5}}^{2}-{{a}_{4}}^{2}=2×5+1$，…，${{a}_{11}}^{2}-{{a}_{10}}^{2}=2×11+1$，
以上各式累加得：${a}_{1}^{2}$+${a}_{3}^{2}+{a}_{5}^{2}$+…+${a}_{11}^{2}$=$2（2+3+4+…+11）+10=2×\frac{（2+11）×10}{2}+10$=140；
（2）①∵b_n=-1，∴由${a}_{n}^{2}$+b_n${a}_{n-1}^{2}$=2n+1，得${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=2n+1$，
則${{a}_{2}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=2×2+1$，${{a}_{3}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}=2×3+1$，…${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=2n+1$，
累加得：${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=2（2+3+…+n）+n-1$，
∴${{a}_{n}}^{2}=4+2×\frac{（n+2）（n-1）}{2}+n-1$=（n+1）²，
則a_n=n+1；
②由a_n=n+1，得a_2k-1=2k，a_2k-2=2k-1，
則${a}_{2k-1}{a}_{2k-2}+19=2k（2k-1）+19=4{k}^{2}-2k+19$，
∵當(dāng)k=3時(shí)，4k²-2k+19是自然數(shù)的完全平方數(shù)，∴$\sqrt{{a}_{2k-1}{a}_{2k-2}+19}$是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，此時(shí)$\sqrt{{a}_{2k-1}{a}_{2k-2}+19}$為數(shù)列{a_n}中的第6項(xiàng)．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，屬中檔題．