Question

11．已知M（-1，2）為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1內(nèi)一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)M，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且M為弦AB的中點(diǎn)，求l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)以點(diǎn)M（-1，2）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)以點(diǎn)M（-1，2）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2，y₁+y₂=4，
分別把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$．
再相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-2（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，
∴點(diǎn)M（-1，2）為中點(diǎn)的弦所在直線方程l的方程為：y-2=2（x+1），
整理，得：2x-y+4=0．
所求直線方程為：2x-y+4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．