Question

1．已知函數(shù)y=f（x）對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），則下列不等式成立的是①．
①$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）
②$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）
③f（0）＞2f（$\frac{π}{3}$）
④f（0）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可得到結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
則g′（x）=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，
則g（-$\frac{π}{3}$）＜g（-$\frac{π}{4}$），即 $\frac{f（-\frac{π}{3}）}{cos（-\frac{π}{3}）}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{cos（-\frac{π}{4}）}$，
∴$\frac{f（-\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$），故①正確，
g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），故②錯誤，
g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），即 $\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$，
∴f（0）＜2f（$\frac{π}{3}$），故③錯誤，
g（0）＜g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴f（0）＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），故④錯誤，
故答案為：①．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一點的難度．