Question

11．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱OB⊥底面ABCD，且側棱OB的長是2，點E，F，G分別是AB，OD，BC的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面BOC；
（Ⅱ）證明：OD⊥平面EFG；
（Ⅲ）求三棱錐G-EOF的體積．

Answer 1

分析 （I）取OC的中點H，連接FH，BH，根據中位線定理和平行公理可知四邊形BEFH是平行四邊形，故EF∥BH，于是EF∥平面BOC；
（II）連結DE，OE，DG，OG，通過勾股定理計算可知DE=OE=D=OG=$\sqrt{5}$，由三線合一得出OD⊥EF，OD⊥FG，于是OD⊥平面EFG；
（III）根據中位線定理計算EG，得出△EFG是邊長為$\sqrt{5}$的正三角形，以△EFG為棱錐的底面，則OF為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計算．

解答 （Ⅰ）證明：取OC的中點H，連接FH，BH，
∵F，H分別是OD，OC的中點，
∴FH$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}CD$，
又∵在正方形ABCD中，E是AB的中點，
∴EB$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}CD$，
∴EB$\underline{\underline{∥}}$FH，
∴四邊形BEFH是平行四邊形，
∴EF∥BH，又∵EF?平面BOC，BH?平面BOC，
∴EF∥平面BOC．
（Ⅱ）證明：連結DE，OE，
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，
∴$DE=\sqrt{5}$
∵側棱OB⊥底面ABCD，AB?面ABCD，
∴OB⊥AB
又∵OB=2，EB=1，∴$OE=\sqrt{5}$，
∴$DE=OE=\sqrt{5}$，∴△ODE是等腰三角形，
∵F是OD的中點，∴EF⊥OD．
同理DG=OG=$\sqrt{5}$，∴△ODG是等腰三角形，
∵F是OD的中點，∴FG⊥OD．
又∵EF∩FG=F，EF?平面EFG，FG?面EFG，
∴OD⊥平面EFG．
（Ⅲ）解：∵側棱OB⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴OB⊥BD，
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴BD=2$\sqrt{2}$，∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵F分別是OD的中點，∴$OF=\sqrt{3}$，
∵$DE=OE=\sqrt{5}$，EF⊥OD，$DG=DG=\sqrt{5}$，FH⊥OD，
∴$EF=\sqrt{2}$，$FG=\sqrt{2}$，
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E，G是AB，BC的中點，
∴EG=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}$，
∴三角形EFG是等邊三角形，∴${S_{△EFG}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴V_G-OEF=V_O-EFG=$\frac{1}{3}{S}_{△EFG}•OF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了線面平行與垂直的判定，棱錐的體積計算，根據線段的長度得出線段的位置關系是解題關鍵．屬于中檔題．