Question

8．如圖，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，BC與AD的延長線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長線上．
（1）若EA=2ED，EB=3EC，求$\frac{AB}{CD}$的值；
（2）若EF∥CD，求證：線段FA，F(xiàn)E，F(xiàn)B成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠CDE=∠ABE，∠DEC=∠BEA，從而△ABE∽△CDE，所以有$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，利用比例的性質(zhì)可得$\frac{AB}{CD}$的值；
（2）由EF∥CD，得∠AEF=∠CDE，∠AEF=∠EBF，結(jié)合公共角可得△BEF∽△EAF，于是$\frac{FA}{FE}$=$\frac{FE}{FB}$，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由A，B，C，D四點(diǎn)共圓，得∠CDE=∠ABE，
又∠DEC=∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$．①
設(shè)DE=a，CE=b，則由$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，得3b²=2a²，即b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$a
代入①，得$\frac{AB}{CD}$=$\frac{3b}{a}$=$\sqrt{6}$．（5分）
（2）證明：由EF∥CD，得∠AEF=∠CDE．
∵∠CDE=∠ABE，∴∠AEF=∠EBF．
又∠BFE=∠EFA，
∴△BEF∽△EAF，于是$\frac{FA}{FE}$=$\frac{FE}{FB}$，
故FA，F(xiàn)E，F(xiàn)B成等比數(shù)列．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題在圓內(nèi)接四邊形的條件下，一方面證明線段FA，F(xiàn)E，F(xiàn)B成等比數(shù)列，另一方面求線段的比值．著重考查了圓中的比例線段、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．