Question

9．求函數(shù)f（x）=cos²x+2asinx-1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值．

Answer 1

分析 將函數(shù)化為f（x）=-sin²x+2asinx，令t=sinx，t∈[0，1]，化函數(shù)y=f（x）=-t²+2at=-（t-a）²+a²，求出對稱軸，討論區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos²x+2asinx-1
=-sin²x+2asinx，
令t=sinx，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得t=sinx∈[0，1]，
則函數(shù)y=f（x）=-t²+2at=-（t-a）²+a²，
對稱軸t=a，
當a≥1時，函數(shù)y在[0，1]遞增，可得t=1時，取得最大值2a-1；
當a≤0時，函數(shù)y在[0，1]遞減，可得t=0時，取得最大值0；
當0＜a＜1時，函數(shù)y在t=a處取得最大值，且為a²．
綜上可得，當a≥1時，函數(shù)的最大值為2a-1；
當a≤0時，函數(shù)的最大值為0；
當0＜a＜1時，函數(shù)的最大值為a²．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．