Question

8．設(shè)全集為R，A={x|x²+px+12=0}，B={x|x²-5x+q=0}．
（1）若（∁_RA）∩B={2}，A∩（∁_RB）={4}，求A∪B；
（2）若q=6，A∪B=B，求p的取值集合．

Answer 1

分析 （1）若（∁_RA）∩B={2}，A∩（∁_RB）={4}，得到2∈B，4∈A，根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)求出p，q即可求A∪B；
（2）若q=6，A∪B=B，等價(jià)為A⊆B，確定集合A，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可求p的取值集合．

解答 解：（1）若（∁_RA）∩B={2}，
則2∈B，即2²-5×2+q=0，即q=10-4=6，
B={x|x²-5x+6=0}={2，3}．
若A∩（∁_RB）={4}，則4∈A，即4²+4p+12=0，即p=-7，
A={x|x²-7x+12=0}={3，4}．
則A∪B={2，3，4}；
（2）若q=6，則B={x|x²-5x+6=0}={2，3}．
若A∪B=B，則A⊆B，
即A=∅，或A={2}，{3}或A={2，3}，
若A=∅，則判別式△=p²-4×12=p²-48＜0，解得-4$\sqrt{3}$≤p≤4$\sqrt{3}$，
若A={2}或{3}，則此時(shí)判別式△=0，即p=-4$\sqrt{3}$或p=4$\sqrt{3}$，
此時(shí)方程的根x=$-\frac{p}{2}$═$±2\sqrt{3}$，此時(shí)不滿(mǎn)足條件．
若A={2，3}，則2×3≠12，此時(shí)不滿(mǎn)足，
綜上p的取值集合為[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算和關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．