13．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.2sin2$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，且c=$\sqrt{3}$，則△ABC面積S的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

分析 由題意和三角函數(shù)公式可得C=120°，再由余弦定理和基本不等式可得ab的范圍，再由三角形的面積公式可得．

解答 解：∵2sin2$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，∴1-cos（A+B）=1+cos2C，
∴1+cosC=1+cos2C，∴cosC=2cos2C-1，
解得cosC=$-\frac{1}{2}$或cosC=1，
∵C為三角形內(nèi)角，∴cosC=$-\frac{1}{2}$，∴C=120°，
∴由余弦定理可得3=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，
由基本不等式可得3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及解三角形和基本不等式，屬中檔題．

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