Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{ln2x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知不等式2^x＞（2x）^a對任意x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)符號便可找出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)2^x＞（2x）^a及x的范圍便可得到$a＜\frac{x}{lo{g}_{2}2x}$，從而得到$a＜\frac{ln2•x}{ln2x}$，可設(shè)g（x）=$\frac{ln2•x}{ln2x}$，根據(jù)導數(shù)可以求出g（x）的最小值，從而便得出a＜g（x）_min，即得出a的取值范圍．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{3（ln2x-1）}{l{n}^{2}2x}$；
∴0＜2x＜1，或1＜2x＜e＜e，即$0＜x＜\frac{1}{2}，或\frac{1}{2}＜x＜\frac{e}{2}$時，f′（x）＜0，$x＞\frac{e}{2}$時，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$（0，\frac{1}{2}）$，$（\frac{1}{2}，\frac{e}{2}）$；
（2）由2^x＞（2x）^a，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$得，x＞alog₂2x，∴$a＜\frac{x}{lo{g}_{2}2x}$；
即$a＜\frac{ln2•x}{ln2x}$；
設(shè)$g（x）=\frac{ln2•x}{ln2x}$，$g′（x）=\frac{ln2（ln2x-1）}{l{n}^{2}2x}$；
∴1＜2x＜e時，g′（x）＜0，2x＞e時，g′（x）＞0；
∴2x=e，即x=$\frac{e}{2}$時，g（x）取最小值$\frac{e}{2lo{g}_{2}e}$；
∴$a＜\frac{e}{2lo{g}_{2}e}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{e}{2lo{g}_{2}e}$）．

點評 考查根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，對數(shù)的運算，對數(shù)的換底公式，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)最小值的方法和過程，注意正確求導．