Question

18．如圖1，湖岸AE可近似地看成直線，營救人員在A處發(fā)現(xiàn)湖中B處有人落水后立即進(jìn)行營救．己知B到AE的距離為20米，∠BAE=50°．營救人員在岸上的行進(jìn)速度為7米/秒，在湖中受水流等影響后的實(shí)際行進(jìn)速度為1米/秒，落水人以$\frac{1}{5}$米/秒的速度沿$\overrightarrow{AE}$方向漂流．記營救人員從發(fā)現(xiàn)有人落水到接觸到落水人的時(shí)間為t．
（1）如圖2，若營救人員直接從A處入水救人，求出t的值．
（2）如圖3，營救人員要用最少的時(shí)間救人，沿岸邊從A跑到C處再入水救人，在湖中行進(jìn)速度與$\overrightarrow{AE}$的夾角為α，試用α表示時(shí)間r，并求出t的最小值（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）在△ABF中，由已知結(jié)合余弦定理得到關(guān)于t的方程，求解方程得答案；
（2）結(jié)合圖3，在Rt△CDH中，由$CH=\frac{20}{tanα}，CD=\frac{20}{sinα}$，得$\frac{20+\frac{1}{5}t-\frac{20}{tanα}}{7}+\frac{\frac{20}{sinα}}{1}=t$，整理后可得$t=\frac{50}{17}（1+\frac{7-cosα}{sinα}）$，令f（α）=$\frac{7-cosα}{sinα}$，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，則t的最小值可求．

解答 解：（1）如圖2，在△ABF中，AB=20$\sqrt{2}$，∠ABF=135°，
BF=$\frac{1}{5}t$，AF=t，由余弦定理：AF²=AB²+BF²-2AF•BF•cos135°，得
${t}^{2}=（20\sqrt{2}）^{2}+（\frac{1}{5}t）^{2}-2×20\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，得3t²-25t-2500=0，
∵t＞0，解得t=$\frac{100}{3}$．
答：若營救人員直接從A處入水救人，t的值為$\frac{100}{3}$秒；
（2）如圖3，AC=20+BD-CH，
在Rt△CDH中，$CH=\frac{20}{tanα}，CD=\frac{20}{sinα}$，
則$\frac{20+\frac{1}{5}t-\frac{20}{tanα}}{7}+\frac{\frac{20}{sinα}}{1}=t$，得
$t=\frac{50}{17}（1+\frac{7-cosα}{sinα}）$，
設(shè)f（α）=$\frac{7-cosα}{sinα}$，則f′（α）=$\frac{1-7cosα}{si{n}^{2}α}$，
令f′（α）=0，得cos$α=\frac{1}{7}$，記${α}_{0}∈（0，\frac{π}{2}）$，
且$cos{α}_{0}=\frac{1}{7}$，則當(dāng)α∈（0，α₀）時(shí)，f′（α）＜0，f（α）為減函數(shù)；
當(dāng)α∈（α₀，π）時(shí)，f′（α）＞0，f（α）為增函數(shù)．
∴當(dāng)cos$α=\frac{1}{7}$時(shí)，f（α）有極小值即最小值為$4\sqrt{3}$，從而t有最小值為$\frac{50}{17}（1+4\sqrt{3}）$秒．
答：$t=\frac{50}{17}（1+\frac{7-cosα}{sinα}）$，t的最小值為$\frac{50}{17}（1+4\sqrt{3}）$秒．

點(diǎn)評 本題考查三角形的解法，考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用換元法及求導(dǎo)求最值，屬中檔題．