Question

已知x，y均為正數(shù)且x+2y=xy，則（　　）

• A、xy+

  4

  x+2y

  有最小值4
• B、xy+

  4

  x+2y

  有最小值3

  2

• C、x+2y+

  4

  xy-7

  有最小值11
• D、xy-7+

  4

  x+2y

  有最小值11

Answer 1

考點：基本不等式

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，由x、y為正數(shù)知x＞2，可得xy=

x2

x-2

的范圍，把選項中的x+2y替換為xy，令xy=t，利用函數(shù)的單調(diào)性可排除A、B、C；利用基本不等式可判斷C的正確性．

解答： 解：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，
由x、y為正數(shù)知，x＞2，
xy=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4≥2

(x-2)• 4 x-2

+4=8，
當且僅當x-2=

4

x-2

，即x=4時取等號，
∴xy的范圍是[8，+∞）．
令t=xy，則t≥8，t+

4

t

在[8，+∞）單調(diào)遞增，
∴t+

4

t

的最小值為8+

4

8

=

17

2

．排除A、B；
x+2y+

4

xy-7

=xy-7+

4

xy-7

+7≥2

(xy-7)• 4 xy-7

+7=11，
當且僅當

xy-7= 4 xy-7 x+2y=xy

，即

x=3 y=3

或

x=6 y= 3 2

時取等號，
∴x+2y+

4

xy-7

的最小值為11故C正確；
xy-7+

4

x+2y

=xy-7+

4

xy

，令t=xy，則t≥8，
由上知t-7+

4

t

在[8，+∞）上單調(diào)遞增，∴t-7+

4

t

的最小值為8-7+

4

8

=

3

2

，排除D．
故選：C．

點評：該題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬中檔題，對條件合理變形，正確得到xy的范圍是解題關(guān)鍵．