Question

設直線y=t與函數(shù)f（x）=x 

1

2

，g（x）=e^x的圖象分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：根據(jù)題意，求出f（x）的反函數(shù)f^-1（x），g（x）的反函數(shù)g^-1（x）；
構(gòu)造函數(shù)h（x）=f^-1（x）-g^-1（x），利用導數(shù)求出h（x）取得最小值，即|MN|達到最小值時x（即t）的值．

解答： 解：根據(jù)題意，∵f（x）=x

1

2

，∴f^-1（x）=x²（x≥0）；
∵g（x）=e^x，∴g^-1（x）=lnx（x≥0）；
設h（x）=f^-1（x）-g^-1（x）=x²-lnx（x≥0），
∴h′（x）=2x-

1

x

=

2x2-1

x

；
令h′（x）=0，解得x=

2

2

；
∴x＞

2

2

時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，0＜x＜

2

2

時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；
∴x=

2

2

時，h（x）取得最小值，即|MN|達到最小值，此時t=

2

2

．
故選：D．

點評：本題考查了求函數(shù)最值的問題，通常利用導數(shù)來研究函數(shù)的最值，解題的關鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，是中檔題．