Question

雙曲線C的中心在原點(diǎn)，它的一條漸近線的方程為2x-y=0，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（2，4

2

）
（1）求雙曲線C的方程及其離心率；
（2）直線l：y=kx+m（k＞0）與雙曲線C交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）兩點(diǎn)，其中0＜y_B＜y_A，直線l與y軸的交點(diǎn)為M，且

AM

=2

MB

．試求滿足上述條件的k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由漸近線方程，可設(shè)雙曲線的方程為4x²-y²=λ（λ≠0），代入P的坐標(biāo)即可得到；
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量的坐標(biāo)及共線坐標(biāo)表示，即可得到k，m的關(guān)系式，通過0＜y_B＜y_A，即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）由于雙曲線的一條漸近線的方程為2x-y=0，
可設(shè)雙曲線的方程為4x²-y²=λ（λ≠0），
則代入點(diǎn)P（2，4

2

），得λ=4×4-32=-16．
則雙曲線方程為

y2

16

-

x2

4

=1．
離心率e=

16+4

4

=

5

2

．
（2）將直線y=kx+m（k＞0，m＞0），
代入雙曲線方程得，（k²-4）x²+2kmx+m²-16=0，
則△=4k²m²-4（k²-4）（m²-16）＞0，即為4k²+m²＞16，
x_A+x_B=

2km

4-k2

，x_Ax_B=

m2-16

k2-4

，①

AM

=（-x_A，m-y_A），

MB

=（x_B，y_B-m），
由

AM

=2

MB

，則-x_A=2x_B，②
由于0＜y_B＜y_A，則x_A＞0，x_B＜0，即有k²＜4，
由①②解得，x_A=

4km

4-k2

，x_B=

2km

k2-4

，
即有

8k2m2

-(k2-4)2

=

m2-16

k2-4

，即為

8k2

4-k2

=

m2-16

m2

=1-

16

m2

＞1-

16

16-4k2

=

-4k2

16-4k2

，即有-2＜k＜2，
又

8k2

4-k2

＜1即有9k²＜4，解得，-

2

3

＜k＜

2

3

，
由于k＞0，則k的取值范圍是（0，

2

3

）．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和雙曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和化簡整理的能力，屬于中檔題．