5.在銳角△ABC中,已知$∠B=\frac{π}{3},|{\overrightarrow{BC}}|=2$,則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范圍是(0,12).

分析 以B為原點(diǎn),BA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系,得到C的坐標(biāo),找出三角形為銳角三角形的A的位置,得到所求范圍

解答 解:以B為原點(diǎn),BA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系,
因?yàn)椤螧=$\frac{π}{3}$,|$\overrightarrow{BC}$|=2,所以C(1,$\sqrt{3}$),設(shè)A(x,0)
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以A+C=120°,
∴30°<A<90°,即A在如圖的線段DE上(不與D,E重合),所以1<x<4,
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=x2-x=(x-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{1}{4}$,所以則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的范圍為(0,12).
故答案為:(0,12).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的幾何意義以及利用坐標(biāo)法求數(shù)量積范圍,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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