Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-a-5（x≤0）}\\{3{x}^{2}-（a+3）x+a（x＞0）}\end{array}\right.$．
（1）設(shè)a是一個(gè)小于2的確定正數(shù)，若存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=k有且僅有三個(gè)不相等的實(shí)根，求k的取值范圍．
（2）若a∈[-2，0]，f（x）=k的三個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，x₃，求證：-$\frac{1}{3}$＜x₁+x₂+x₃＜1．

Answer 1

分析 （1）題意可得x≤0時(shí)，有一個(gè)非正根，又3x²-（a+3）x+a=k有兩個(gè)不等的正根，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，即可得到所求范圍；
（2）運(yùn)用韋達(dá)定理和方程的根的求法，可得x₁+x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$，再由k的范圍和a的范圍，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的值域的求法，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得x≤0時(shí)，有一個(gè)非正根，
即有3x²-a-5=k，即為a+5+k≥0，即k≥-a-5；
又3x²-（a+3）x+a=k有兩個(gè)不等的正根，
即有△＞0，即（a+3）²-12（a-k）＞0，
且a+5＞0，a-k＞0，解得-$\frac{1}{12}$（a-3）²＜k＜a．
綜上可得，-$\frac{1}{12}$（a-3）²＜k＜a；
（2）證明：由題意可得x≤0時(shí)，有一個(gè)非正根x₁，
3x²-（a+3）x+a=k有兩個(gè)不等的正根x₂，x₃，
即有x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$，
由x₁=-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$，
即有x₁+x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$，
由k＜a可得x₁+x₂+x₃＞$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$，
設(shè)$\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$=t（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t≤$\frac{\sqrt{15}}{3}$），
可得a=$\frac{3{t}^{2}-5}{2}$，可得$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$=$\frac{1}{6}$（3t²-6t+1）
=$\frac{1}{2}$（t-1）²-$\frac{1}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，
即有x₁+x₂+x₃＞-$\frac{1}{3}$；
又a≤0，則x₁+x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$＜1．
則有-$\frac{1}{3}$＜x₁+x₂+x₃＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查二次函數(shù)和方程的關(guān)系，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和換元法，以及二次函數(shù)的值域的求法，考查不等式的證明，屬于中檔題．