Question

13．已知函數f（x）=x²-4a|x|+2，（a∈R）．
（1）若函數f（x）在區(qū)間（-4，4）上有四個零點，求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，設函數f（x）在[m-1，m+1]上的最大值為g（m），求g（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得4a=$\frac{{x}^{2}+2}{|x|}$=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，4）有4個實根，作出函數y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）的圖象，通過圖象觀察，可得a的范圍；
（2）f（x）=x²-4|x|+2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+2，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+2，x＜0}\end{array}\right.$，作出f（x）的圖象．對m討論，結合圖象和單調性，可得g（m）的解析式，再由二次函數的最值的求法，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）函數f（x）在區(qū)間（-4，4）上有四個零點，（x≠0），
即為4a=$\frac{{x}^{2}+2}{|x|}$=|x|+$\frac{2}{|x|}$，
由0＜x＜$\sqrt{2}$時，y=x+$\frac{2}{x}$遞減，$\sqrt{2}$＜x＜4時，函數y遞增；
當x=$\sqrt{2}$時，y=2$\sqrt{2}$；x=4時，y=$\frac{9}{2}$；
又y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）為偶函數，
作出函數y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）的圖象，
由圖象可得當2$\sqrt{2}$＜4a＜$\frac{9}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜$\frac{9}{8}$時，
y=4a和y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）有4個交點，
即有函數f（x）在區(qū)間（-4，4）上有四個零點；
（2）f（x）=x²-4|x|+2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+2，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+2，x＜0}\end{array}\right.$，
作出f（x）的圖象．
①m+1≤-2即m≤-3時，[m-1，m+2]為減區(qū)間，
可得g（m）=f（m-1）=（m+2）²-2；
②當-3＜m≤-2時，f（x）在[m-1，-2）遞減，（-2，m+1）遞增，
且f（m-1）≥f（m+1），可得g（m）=f（m-1）=（m+2）²-2；
③當-2＜m≤-1時，f（x）在[m-1，-2）遞減，（-2，m+1）遞增，
且f（m-1）＜f（m+1），可得g（m）=f（m+1）=（m+3）²-2；（m+2）
④當m-1＜0≤m+1≤2即為-1≤m＜1，g（m）=f（0）=2；
⑤當0≤m-1＜m+1≤2即m=1時，g（m）=f（0）=2；
⑥當1＜m≤2時，f（x）在[m-1，2）遞減，（2，m+1）遞增，
且f（m-1）≥f（m+1），可得g（m）=f（m-1）=（m-3）²-2；
⑦當2＜m≤3時，f（x）在[m-1，2）遞減，（2，m+1）遞增，
且f（m-1）＜f（m+1），可得g（m）=f（m+1）=（m-1）²-2；
⑧當2＜m-1＜m+1即有m＞3時，[m-1，m+1]遞增，則g（m）=f（m+1）=（m-1）²-2．
綜上可得，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{（m+2）^{2}-2，m≤-2}\\{（m+3）^{2}-2，-2＜m≤-1}\\{2，-1＜m≤1}\\{（m-3）^{2}-2，1＜m≤2}\\{（m-1）^{2}-2，m＞2}\end{array}\right.$；
當m≤-2時，g（m）≥-2；-2＜m≤-1時，g（m）∈（-1，2]；
當-1＜m≤1時，g（m）=2；1＜m≤2時，g（m）∈[-1，2）；
m＞2時，g（m）＞-1．
綜上可得，g（m）的最小值為-2．

點評 本題考查含絕對值的函數的零點和最值的求法，注意運用數形結合的思想方法和分類討論的思想方法，考查化簡運算求解能力，屬于難題．