Question

9．已知點P（x，y）是圓（x+2）²+y²=1上任意一點，則$\frac{y-2}{x-1}$的最大值為$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 $\frac{y-2}{x-1}$表示圓上的點P（x，y）與點M（1，2）連線的斜率，設(shè)為k，則過點M的圓的切線方程為y-2=k（x-1），由圓心到切線的距離等于半徑，求得k的值，可得$\frac{y-2}{x-1}$的最大值．

解答 解：$\frac{y-2}{x-1}$表示圓上的點P（x，y）與點M（1，2）連線的斜率，
設(shè)為k，則過點M的圓的切線方程為y-2=k（x-1），
即 kx-y+2-k=0，由圓心到切線的距離等于半徑，可得$\frac{|-2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{3±\sqrt{3}}{4}$，
故$\frac{y-2}{x-1}$的最大值為$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查直線的斜率公式，直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．