Question

5．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1}{4}$f（x）+ax³+x²-b（x∈R），其中a，b∈R．若函數(shù)g（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，推出m的不等式?jīng)]任何求出m值，求出函數(shù)的解析式．
（2）求出函數(shù)的g′（x），為使g（x）僅在x=0處有極值，必須x²+3ax+9≥0恒成立，然后求出a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴-m²+2m+3＞0，
即m²-2m-3＜0，∴-1＜m＜3，又m∈Z，∴m=0，1，2…4分
而m=0，2時(shí)，f（x）=x³不是偶函數(shù)，m=1時(shí)，f（x）=x⁴是偶函數(shù)，
∴f（x）=x⁴．…6分
（2）g′（x）=x（x²+3ax+9），顯然x=0不是方程x²+3ax+9=0的根．
為使g（x）僅在x=0處有極值，必須x²+3ax+9≥0恒成立，…8分
即有△=9a²-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2]．…11分
這時(shí)，g（0）=-b是唯一極值．∴a∈[-2，2]．…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的極值的求法，函數(shù)的恒成立條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．