14.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的弦AB的中點(diǎn)為M(3,2).坐標(biāo)原點(diǎn)為O.
(1)求直線AB的方程;   
(2)求△AOB的面積.

分析 (1)設(shè)出A,B的坐標(biāo),代入橢圓方程,利用點(diǎn)差法求出直線的斜率,由直線方程的點(diǎn)斜式得答案;
(2)聯(lián)立(1)中求出的直線方程與橢圓方程,利用弦長公式求得|AB|,再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到AB的距離,代入三角形面積公式得答案.

解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$.
兩式作差得:$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{25}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{9}$,
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9}{25}•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,
∵弦AB的中點(diǎn)為M(3,2),∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9}{25}×\frac{6}{4}=-\frac{27}{50}$.
∴直線AB的方程為y-2=$-\frac{27}{50}(x-3)$,即27x+50y-181=0;
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{27x+50y-181=0}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$,得1629x2-9774x+10261=0.
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{9774}{1629},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{10261}{1629}$.
∴|AB|=$\sqrt{1+(-\frac{27}{50})^{2}}\sqrt{(\frac{9774}{1629})^{2}-4×\frac{10261}{1629}}$=$\frac{\sqrt{3229}}{50}×\frac{\sqrt{28670400}}{1629}$.
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|-181|}{\sqrt{2{7}^{2}+5{0}^{2}}}=\frac{181}{\sqrt{3229}}$.
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3229}}{50}×\frac{\sqrt{28670400}}{1629}×\frac{181}{\sqrt{3229}}$=$\frac{1086\sqrt{1991}}{8145}$.

點(diǎn)評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求直線方程,考查計(jì)算能力,是中檔題.

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