Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的弦AB的中點為M（3，2）．坐標原點為O．
（1）求直線AB的方程；   
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，B的坐標，代入橢圓方程，利用點差法求出直線的斜率，由直線方程的點斜式得答案；
（2）聯(lián)立（1）中求出的直線方程與橢圓方程，利用弦長公式求得|AB|，再由點到直線的距離公式求出原點到AB的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$．
兩式作差得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{25}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{9}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9}{25}•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵弦AB的中點為M（3，2），∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9}{25}×\frac{6}{4}=-\frac{27}{50}$．
∴直線AB的方程為y-2=$-\frac{27}{50}（x-3）$，即27x+50y-181=0；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{27x+50y-181=0}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得1629x²-9774x+10261=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{9774}{1629}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{10261}{1629}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{27}{50}）^{2}}\sqrt{（\frac{9774}{1629}）^{2}-4×\frac{10261}{1629}}$=$\frac{\sqrt{3229}}{50}×\frac{\sqrt{28670400}}{1629}$．
原點O到直線AB的距離d=$\frac{|-181|}{\sqrt{2{7}^{2}+5{0}^{2}}}=\frac{181}{\sqrt{3229}}$．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3229}}{50}×\frac{\sqrt{28670400}}{1629}×\frac{181}{\sqrt{3229}}$=$\frac{1086\sqrt{1991}}{8145}$．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，訓練了利用“點差法”求直線方程，考查計算能力，是中檔題．