Question

9．在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，可得n=1時(shí)，a₁=S₁=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．
（II）${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，∴n=1時(shí)，a₁=S₁=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．n=1時(shí)也成立．
∴a_n=n．
（II）${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．