Question

8．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，?n∈N^*，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和S_n；
（3）求證：?n∈N^*，a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜3．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$變形同時取倒數(shù)，整理可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1、公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，進而計算可得結論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進而并項相加即得結論；
（3）通過（2）放縮、裂項可知${{a}_{n}}^{2}$＜2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進而并項相加即得結論．

解答 （1）解：∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1、公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（2）解：由（1）可知，$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$；
（3）證明：由（2）可知，${{a}_{n}}^{2}$=$\frac{4}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{4}{n（n+2）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=3-2（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）
＜3．

點評 本題是一道關于數(shù)列與不等式的綜合題，考查數(shù)列的通項，考查放縮法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．