Question

18．若一元二次不等式x²-$\frac{2}{\sqrt{a}}$x+1-$\frac{1}$＞0（b＞a）的解集為{x|x≠$\frac{1}{\sqrt{a}}$}，則$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$的最小值為（　　）

• A． 16
• B． 25
• C． 36
• D． 49

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得$\frac{1}{a}+\frac{1}$=1，b＞a＞0，即ab=a+b，則$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$=$\frac{16a+4b-20}{ab-（a+b）+1}$=16a+4b-20=（16a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）-20=$\frac{4b}{a}+\frac{16a}$，結(jié)合基本不等式可得答案．

解答 解：∵一元二次不等式x²-$\frac{2}{\sqrt{a}}$x+1-$\frac{1}$＞0（b＞a）的解集為{x|x≠$\frac{1}{\sqrt{a}}$}，
∴$△=\frac{4}{a}-4+\frac{4}=0$，
即$\frac{1}{a}+\frac{1}$=1，b＞a＞0，
即ab=a+b，
故$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$=$\frac{16a+4b-20}{ab-（a+b）+1}$=16a+4b-20=（16a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）-20=$\frac{4b}{a}+\frac{16a}$≥2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{16a}}$=16，
故$\frac{4}{a-1}$+$\frac{16}{b-1}$的最小值為16，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是基本不等式，二次不等式，是不等式的綜合應(yīng)用．