Question

18．已知平面上四點(diǎn)：A（4，3），B（5，2），C（1，0），D（2，3）
（1）證明：A、B、C、D四點(diǎn)共圓；
（2）已知點(diǎn)N是（1）中圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P（6，0），點(diǎn)Q（x，y）是線段PN的三等分點(diǎn)且距點(diǎn)P近一些，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足的方程．

Answer 1

分析 （1）求出經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程，再把第四個點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)，滿足方程，可得A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則x₁²+y₁²-6x₁-2y₁+5=0 ①，設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得，點(diǎn)Q分有向線段NP成的比為2，再利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式求出x₁=3x-12，y₁=3y，代入①可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足的方程．

解答 解：（1）設(shè)A（4，3）、B（5，2）、C（1，0）三點(diǎn)共圓于x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{16+9+4D+3E+F=0}\\{25+4+5D+2E+F=0}\\{1+D+F=0}\end{array}\right.$，求得D=-6，E=-2，F(xiàn)=5，
∴A、B、C共圓于x²+y²-6x-2y+5=0，
把D（2，3）代入此方程，成立，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則x₁²+y₁²-6x₁-2y₁+5=0 ①，
設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得，點(diǎn)Q分有向線段NP成的比為2，
則x=$\frac{{x}_{1}+2×6}{1+2}$，y=$\frac{{y}_{1}+2×0}{1+2}$，即：x₁=3x-12，y₁=3y．
再把點(diǎn)N的坐標(biāo)（3x-12，3y ）代入方程①可得 （x-12）²+（3y）²-6（3x-12）-2×3y+5=0，
即 x²+9y²-42x-6y+89=0．

點(diǎn)評 本題主要考查圓的一般方程，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用代入法求軌跡方程，屬于中檔題．