Question

18．已知平面上四點：A（4，3），B（5，2），C（1，0），D（2，3）
（1）證明：A、B、C、D四點共圓；
（2）已知點N是（1）中圓上的一個動點，點P（6，0），點Q（x，y）是線段PN的三等分點且距點P近一些，求點Q的坐標滿足的方程．

Answer 1

分析 （1）求出經(jīng)過三點的圓的方程，再把第四個點的坐標代入檢驗，滿足方程，可得A、B、C、D四點共圓．
（2）設(shè)點N的坐標為（x₁，y₁），則x₁²+y₁²-6x₁-2y₁+5=0 ①，設(shè)Q的坐標為（x，y），由題意可得，點Q分有向線段NP成的比為2，再利用定比分點坐標公式求出x₁=3x-12，y₁=3y，代入①可得點Q的坐標滿足的方程．

解答 解：（1）設(shè)A（4，3）、B（5，2）、C（1，0）三點共圓于x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{16+9+4D+3E+F=0}\\{25+4+5D+2E+F=0}\\{1+D+F=0}\end{array}\right.$，求得D=-6，E=-2，F(xiàn)=5，
∴A、B、C共圓于x²+y²-6x-2y+5=0，
把D（2，3）代入此方程，成立，故A、B、C、D四點共圓．
（2）設(shè)點N的坐標為（x₁，y₁），則x₁²+y₁²-6x₁-2y₁+5=0 ①，
設(shè)Q的坐標為（x，y），由題意可得，點Q分有向線段NP成的比為2，
則x=$\frac{{x}_{1}+2×6}{1+2}$，y=$\frac{{y}_{1}+2×0}{1+2}$，即：x₁=3x-12，y₁=3y．
再把點N的坐標（3x-12，3y ）代入方程①可得 （x-12）²+（3y）²-6（3x-12）-2×3y+5=0，
即 x²+9y²-42x-6y+89=0．

點評 本題主要考查圓的一般方程，定比分點坐標公式，用代入法求軌跡方程，屬于中檔題．