Question

3．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，若x∈[2，3]時，f（x）=x．
（1）求證：f（x）為周期函數(shù)；
（2）求f（5.5）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可證明f（x）為周期函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化即可求f（5.5）的值．

解答 解：（1）∵f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1}{f（x+2）}$=$\frac{1}{\frac{1}{f（x）}}$=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（5.5）=f（5.5-4）=f（1.5）=f（1.5-4）=f（-2.5），
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若x∈[2，3]時，f（x）=x．
∴f（-2.5）=f（2.5）=2.5，
故f（5.5）=2.5．

點評 本題主要考查周期函數(shù)的判斷以及函數(shù)值的計算，利用周期函數(shù)的定義以及函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．