Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=2，CD=CB=CP=1．點P在底面上的射影為線段BD的中點M．
（Ⅰ）若E為棱PB的中點，求證：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點為F，連結EF，CF，由題意知CF∥AD，EF∥AP，從而面CEF∥面PAD，由此能證明CE∥面PAD．
（Ⅱ）推導出CE⊥PB，從而AD⊥PD，進而PA⊥PB，EF⊥PB，則∠CEF是二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AB中點為F，連結EF，CF，
∵E為棱PB的中點，∠ABC=∠BCD=90°，AB=2，CD=CB=CP=1，
∴由題意知CF∥AD，EF∥AP，
∵CF∩EF=F，AD∩AP=A，CF、EF?平面CEF，AD、AP?平面PAD，
∴面CEF∥面PAD，
∵CE?平面CEF，∴CE∥面PAD．
解：（Ⅱ）∵點P在底面上的射影為線段BD的中點M，且MC=MB=MF=MD，
故PC=PB=PF=PD=BC，∴CE⊥PB，
又由CF⊥平面PBD，∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PD，
∴AP=$\sqrt{3}$，BA=2，PB=1，
∴PA⊥PB，EF⊥PB，
∴∠CEF是二面角A-PB-C的平面角，
在△EFC中，EF=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CF=$\sqrt{2}$，
∴cos$∠CEF=-\frac{1}{3}$，
∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值為-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．