Question

18．某青年教師近五年內(nèi)所帶班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下（滿分均為150分）：

年份x年	2011	2012	2013	2014	2015
平均成績(jī)y分	97	98	103	108	109

（Ⅰ）利用所給數(shù)據(jù)，求出平均分與年份之間的回歸直線方程$\widehat{y}$=bx+a，并判斷它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該教師2016年所帶班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)．
（Ⅲ）能否利用該回歸方程估計(jì)該教師2030年所帶班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)？為什么？
（b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用數(shù)據(jù)平均值的公式求出x，y的平均值，再計(jì)算b，a的值，即可求出平均分與年份之間的回歸直線方程，根據(jù)b＞0，可得成績(jī)與年份成正相關(guān)關(guān)系；
（Ⅱ）x=2016，代入回歸直線方程，即可預(yù)測(cè)該教師2016年所帶班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)；
（Ⅲ）模型只能適用于樣本數(shù)據(jù)接近的年份．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\overline{x}$=2013，$\overline{y}$=103，
b=$\frac{（-2）（-6）+（-1）（-5）+0×0+1×5+2×6}{4+1+0+1+4}$=3.4，a=103-3.4×2013=-6741.2
∴y=3.4x-6741.2，
∵b＞0
∴成績(jī)與年份成正相關(guān)關(guān)系；
（Ⅱ）y=3.4x-6741.2=3.4×2.15-6741.2=113.2
∴預(yù)測(cè)2016年該班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?13.2；
（Ⅲ）x=2030時(shí)，y=160.8＞150，可見不能用此該回歸方程估計(jì)該教師2030年所帶班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)，因?yàn)樵撃Ｐ椭荒苓m用于樣本數(shù)據(jù)接近的年份．

點(diǎn)評(píng) 解決線性回歸直線的方程，利用最小二乘法求出直線的截距和斜率，利用回歸直線方程可預(yù)測(cè)．