【題目】已知函數(shù).

1)求曲線在點處的切線方程;

2)判斷函數(shù)的零點的個數(shù),并說明理由;

3)設(shè)的一個零點,證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.

【答案】12有且僅有兩個零點,詳見解析(3)證明見解析

【解析】

1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果;

2)根據(jù)單調(diào)性和零點存在性定理可得上各有唯一一個零點,由此可得答案;

3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線為,設(shè)曲線在點處的切線斜率為,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為,根據(jù)的一個零點,可證兩條切線重合.

1)因為,

所以,.

所以曲線在點處的切線的方程為.

2)函數(shù)有且僅有兩個零點.理由如下:

的定義域為.

因為

所以上均單調(diào)遞增.

因為,

所以上有唯一零點.

因為,,

所以上有唯一零點.

綜上,有且僅有兩個零點.

3)曲線在點處的切線方程為,即.

設(shè)曲線在點處的切線斜率為,

,,即切點為.

所以曲線在點處的切線方程為

,即.

因為的一個零點,所以.

所以.

所以這兩條切線重合.

所以結(jié)論成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,上頂點為A,過的直線y軸交于點M,滿足O為坐標(biāo)原點),且直線l與直線之間的距離為.

1)求橢圓C的方程;

2)在直線上是否存在點P,滿足?存在,指出有幾個這樣的點(不必求出點的坐標(biāo));若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點.

1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;

2)證明:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知在中,角的對邊分別為,且.

(1)求的值;

(2)若,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買,規(guī)定每個手機(jī)號只能預(yù)約一次,預(yù)約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下:(ⅰ)搖號的初始中簽率為;(ⅱ)當(dāng)中簽率不超過時,可借助“好友助力”活動增加中簽率,每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加.為了使中簽率超過,則至少需要邀請________位好友參與到“好友助力”活動.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)討論的單調(diào)性;

2)若在定義域內(nèi)是增函數(shù),且存在不相等的正實數(shù),使得,證明:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《九章算術(shù)》中勾股容方問題:今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個問題的一般解法:如圖1,用對角線將長和寬分別為的矩形分成兩個直角三角形,每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進(jìn)行重組,得到如圖2所示的矩形.該矩形長為,寬為內(nèi)接正方形的邊長.由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論,如圖3.設(shè)為斜邊的中點,作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線,過點于點,則下列推理正確的是(

①由圖1和圖2面積相等得;

②由可得;

③由可得

④由可得

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在梯形ABCD中,ABCD,ADDCBC1,∠ABC60°,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF1

1)證明:BC⊥平面ACFE;

2)設(shè)點M在線段EF上運(yùn)動,平面MAB與平面FCB所成銳二面角為θ,求cosθ的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),為曲線上的一動點.

(I)求動點對應(yīng)的參數(shù)從變動到時,線段所掃過的圖形面積;

(Ⅱ)若直線與曲線的另一個交點為,是否存在點,使得為線段的中點?若存在,求出點坐標(biāo);若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案