Question

3．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：x²+2y²=2λ（λ＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)．
（1）記∠F₁PF₂=θ，求證：cosθ≥0；
（2）若F₁（-1，0），點(diǎn)N（-2，0），已知橢圓C上的兩個動點(diǎn)A，B滿足$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{NB}$，當(dāng)λ∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]時，求直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用當(dāng)點(diǎn)P是橢圓的短軸的端點(diǎn)時，∠F₁PF₂取得最大值，此時cos∠F₁PF₂可取得最小，計算即可得證；
（2）求得橢圓方程，由題意先設(shè)直線的方程為y=k（x+2）（k≠0），把直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理整體代換，借助于$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{NB}$，得到k，λ的關(guān)系式，用λ表示k，由λ的范圍再求出k的范圍．

解答 解：（1）證明：橢圓C：x²+2y²=2λ（λ＞0），即為
$\frac{{x}^{2}}{2λ}$+$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1，可得a=$\sqrt{2λ}$，b=$\sqrt{λ}$，c=$\sqrt{λ}$，
則F₁（-$\sqrt{λ}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{λ}$，0），
當(dāng)P為短軸的一個端點(diǎn)時，|PF₁|=|PF₂|=a=$\sqrt{2λ}$，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{λ}$，
即有|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，∠F₁PF₂=90°，
由橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)P為短軸的端點(diǎn)時，∠F₁PF₂取得最大值，
即0°≤∠F₁PF₂≤90°，
則cosθ≥0；
（2）由$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{NB}$，可得A，B，N三點(diǎn)共線，
而N（-2，0），設(shè)直線的方程為y=k（x+2），（k≠0），
由F₁（-1，0），可得c=1，即λ=1，
可得橢圓的方程為x²+2y²=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去x得：$\frac{1+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$y²-$\frac{4}{k}$y+2=0，
由△=（$\frac{4}{k}$）²-8•$\frac{1+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$＞0，解得0＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得y₁+y₂=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$①，
又由$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{NB}$得：（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂②．
將②式代入①式得：$\left\{\begin{array}{l}{（1+λ）{y}_{2}=\frac{4k}{1+2{k}^{2}}}\\{λ{(lán){y}_{2}}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
消去y₂得：$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$．
設(shè)ϕ（λ）=$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2，當(dāng)λ∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]時，ϕ（λ）是減函數(shù)，
∴$\frac{16}{3}$≤ϕ（λ）≤$\frac{36}{5}$，∴$\frac{16}{3}$≤$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$≤$\frac{36}{5}$，
解得 $\frac{1}{18}$≤k²≤$\frac{1}{4}$，又由0＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜0．
得$\frac{\sqrt{2}}{6}$≤k≤$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$≤k≤-$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴直線AB的斜率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{2}$]∪[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{6}$]．

點(diǎn)評 此題考查了橢圓的方程及橢圓的基本性質(zhì)，直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)而不求及整體代換的思想，還考查了利用均值不等式求值域．