Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）取最大值時x值的集合；
（3）函數(shù)y=f（x）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的增區(qū)間；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）取得最大值時x的集合；
（3）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時函數(shù)y=f（x）的值域，即可得出函數(shù)y=f（x）-m有零點時m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z；
解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈z；
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈z；
（2）令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，
解得x=$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈z，
此時f（x）=1；
∴f（x）取得最大值時x的集合是{x|x=$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈z}；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]；
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函數(shù)y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
若函數(shù)y=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有零點，
則m的取值范圍是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤m≤1．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．