Question

20．已知A（-1，0）、B（2，1）、C（5，-8），△ABC的外接圓在點(diǎn)A處的切線為l，則點(diǎn)B到直線l的距離為1．

Answer 1

分析 由已知三點(diǎn)坐標(biāo)求出AB、AC的垂直平分線方程，求交點(diǎn)得到圓心坐標(biāo)，進(jìn)一步求得過(guò)A點(diǎn)的切線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得答案．

解答 解：∵A（-1，0）、B（2，1）、C（5，-8），
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），${k}_{AB}=\frac{1-0}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$，
AB的垂直平分線方程為y$-\frac{1}{2}$=-3（x-$\frac{1}{2}$），即3x+y-2=0；
AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4），${k}_{AC}=\frac{-8-0}{5-（-1）}=-\frac{4}{3}$，
AC的垂直平分線方程為$y+4=\frac{3}{4}（x-2）$，即3x-4y-22=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-2=0}\\{3x-4y-22=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$．
∴圓心坐標(biāo)為M（2，-4），
則${k}_{MA}=\frac{-4-0}{2-（-1）}=-\frac{4}{3}$，
∴△ABC的外接圓在點(diǎn)A處的切線為l：$y=\frac{3}{4}（x+1）$，即3x-4y+3=0．
∴B（2，1）到直線l的距離d=$\frac{|3×2-4×1+3|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}=\frac{5}{5}=1$．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線方程，考查了直線垂直與斜率間的關(guān)系，訓(xùn)練了直線方程的點(diǎn)斜式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．