Question

6．若x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上總成立，求實(shí)數(shù)x的范圍．

Answer 1

分析 方法一：分離出m，構(gòu)造關(guān)于m的函數(shù)，f（m）=x²+2（m-1）x+2m+6=2m（x+1）+x²-2x+6，分類討論即可實(shí)數(shù)x的取值范圍．
方法二，分離出m，構(gòu)造關(guān)于m的函數(shù)，得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：方法一∵x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上總成立，
設(shè)f（m）=x²+2（m-1）x+2m+6=2m（x+1）+x²-2x+6，
當(dāng)x+1＞0時，f（m）為增函數(shù)，
∴x²-2x+6＞0，
△=4-4×6＜0，
∴x＞-1，
當(dāng)x+1=0時，即x²-2x+6=1+2+6=9＞0，
當(dāng)x+1＜0時，f（m）為減函數(shù)，
∴4（x+1）+x²-2x+6＞0，
即x²+2x+10＞0，
△=4-4×10＜0，
∴x＜-1，
綜上所述x的范圍為R．
方法二：x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上總成立，
設(shè)f（m）=x²+2（m-1）x+2m+6=2m（x+1）+x²-2x+6，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+6＞0}\\{{x}^{2}+2x+10＞0}\end{array}\right.$，解得x∈R，

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，二次函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．