Question

20．已知數(shù)列{a_n}各項均為正，若a₁=1，且lga_n+1+lga_n=lg（a_n-a_n+1）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項和S_n，求S_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)運算法則得到a_n+1a_n=a_n-a_n+1，從而$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂項求和法求出數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項和，由此能求出S_n的取值范圍．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}各項均為正，a₁=1，且lga_n+1+lga_n=lg（a_n-a_n+1）（n∈N^*），
∴a_n+1a_n=a_n-a_n+1，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）•1=n，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式${a}_{n}=\frac{1}{n}$．
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
n=1時，（S_n）_min=1-$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，S_n=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
∴S_n的取值范圍是[$\frac{1}{2}，1$）．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質、對數(shù)運算法則、裂項求和法的合理運用．