Question

9．某中學(xué)根據(jù)2002-2014年期間學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過考核遠(yuǎn)拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m，$\frac{1}{3}$，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為$\frac{1}{24}$，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為$\frac{3}{4}$，且m＞n．
（1）求m與n的值；
（2）該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修字分1分，對進(jìn)入“棋類”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進(jìn)入“國學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課字分分?jǐn)?shù)的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m，$\frac{1}{3}$，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為$\frac{1}{24}$，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為$\frac{3}{4}$，且m＞n，建立方程組，即可求m與n的值；
（2）確定學(xué)分X的可能取值，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列與數(shù)學(xué)期望

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}mn=\frac{1}{24}}\\{1-\frac{2}{3}（1-m）（1-n）=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，m＞n
∴m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{4}$；
（2）學(xué)分X的取值分別為0，1，2，3，4，5，6，則
P（X=0）=$\frac{1}{4}$，P（X=1）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，P（X=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{8}$，P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×$$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{24}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{12}$，P（X=5）=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，P（X=6）=$\frac{1}{24}$．
X的分布列

X	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{24}$

期望EX=0×$\frac{1}{4}$+1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{1}{8}$+3×$\frac{5}{24}$+4×$\frac{1}{12}$+5×$\frac{1}{24}$+6×$\frac{1}{24}$=$\frac{23}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求解，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．