Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F（c，0），一條漸近線為l，圓（x-c）²+y²=c²截直線l所得弦長為2$\sqrt{2}$，則該雙曲線的實(shí)軸長為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程求出一條漸近線l的方程化為一般式，根據(jù)條件和弦長公式列出方程，化簡后求出a的值，再求出該雙曲線的實(shí)軸長．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線l的方程是y=$\frac{a}x$，
即bx-ay=0，
因?yàn)閳A（x-c）²+y²=c²截直線l所得弦長為2$\sqrt{2}$，
所以c²=${（\sqrt{2}）}^{2}$+${（\frac{|bc-a×0|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}）}^{2}$，
化簡得，c²=b²+2，則a=$\sqrt{2}$，
所以該雙曲線的實(shí)軸長為2a=2$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，以及直線與圓相交時(shí)弦長問題，屬于中檔題．