Question

9．己知y=f（x）的反函數(shù)是f^-1（x）=2^x-1，x∈R
（1）函數(shù)y=f（x）的解析式，并寫出定義城．
（2）若g（x）=2log₂（2x+4），求g（x）-f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）y=f（x）的反函數(shù)是f^-1（x）=2^x-1，x∈R，可得2^y-1=x，解出即可得出．
（2）g（x）-f（x）=$lo{g}_{2}\frac{（2x+4）^{2}}{x+1}$=$lo{g}_{2}[4（x+1）+\frac{4}{x+1}+8]$，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）y=f（x）的反函數(shù)是f^-1（x）=2^x-1，x∈R，
∴2^y-1=x，
解得y=f（x）=log₂（x+1），（x＞-1）．
（2）g（x）-f（x）=2log₂（2x+4）-log₂（x+1）=$lo{g}_{2}\frac{（2x+4）^{2}}{x+1}$=$lo{g}_{2}[4（x+1）+\frac{4}{x+1}+8]$≥$lo{g}_{2}[4×2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}+8]$=4，（x＞-1）．
當且僅當x=0時取等號．
∴g（x）-f（x）的最小值為4．

點評 本題考查了反函數(shù)的求法、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．