Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+ln（x+1）-ax．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥cosx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$，記$g（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$，則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}$，分類討論，即可證明：函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上遞增，分類討論，利用當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥cosx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （Ⅰ）證明：f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$…（1分）
記$g（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$，則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}$
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，$\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}＜1$，此時(shí)g'（x）＞0…（2分）
當(dāng)x＜0時(shí)，e^x＜1，$\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}＞1$，此時(shí)g'（x＜0…（3分）
所以f'（x）在（-1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，…（4分）
故f'（x）≥f'（0）=0，從而f（x）在（-1，+∞）上遞增…（5分）
（Ⅱ）解：$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上遞增，
所以當(dāng)a≤2時(shí)，f'（x）≥f'（0）=2-a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上遞增…（6分）
故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…（7分）
當(dāng)a＞2時(shí)，記φ（x）=f（x）-cosx，則$φ'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a+sinx$
記$h（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a+sinx$，則$h'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}+cosx$
當(dāng)x＞1時(shí)，$h'（x）＞e-\frac{1}{4}-1$…（8分）
顯然0≤x＜1時(shí)，h'（x）＞0，從而φ'（x）在[0，+∞）上遞增…（9分）
又φ'（0）=2-a＜0，則存在x₀∈（0，+∞），使得φ'（x₀）=0…（10分）
所以φ（x）在（0，x₀）上遞減，所以當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，φ（x）＜φ（0）=0，
即f（x）＜cosx，不符合題意…（11分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．