Question

5．（1）求函數(shù)y=|x-1|+|x-3|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值；
（2）求函數(shù)y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值；
（3）求函數(shù)y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-n|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值；
（4）求函數(shù)y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|4x-1|+|5x-1|+|6x-1|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值．

Answer 1

分析 （1）對x分類討論可得：函數(shù)y=|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，x＞3}\\{2，1≤x≤3}\\{-2x+4，x＜1}\end{array}\right.$，即可得出函數(shù)y的最小值．
（2）對x分類討論可得：函數(shù)y=|x-1|+|x-2|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-6，x＞3}\\{x，2≤x≤3}\\{-x+4，1≤x＜2}\\{-3x+6，x＜1}\end{array}\right.$，即可得出函數(shù)y取得最小值．
（3）運用絕對值不等式丨a丨+丨b丨≥丨a±b丨．對n分類討論，即可得出．
（4）對x分類討論，去掉絕對值符號，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)y=|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，x＞3}\\{2，1≤x≤3}\\{-2x+4，x＜1}\end{array}\right.$，∴當(dāng)x∈[1，3]時，函數(shù)y取得最小值2．
（2）函數(shù)y=|x-1|+|x-2|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-6，x＞3}\\{x，2≤x≤3}\\{-x+4，1≤x＜2}\\{-3x+6，x＜1}\end{array}\right.$，∴當(dāng)x=2時，函數(shù)y取得最小值2．
（3）運用絕對值不等式丨a丨+丨b丨≥丨a±b丨．分類討論：
當(dāng)n為奇數(shù)時，
|x-1|+|x-n|≥丨n-x+x-1丨=n-1，|x-2|+|x-（n-1）|≥n-3，…，|x-$\frac{1}{2}$（n-1）|+|x-$\frac{1}{2}$（n+3）|≥2，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$（n+1）（即1，n的中點）有|x-$\frac{1}{2}$（n+1）|取最小值0．
故y（min）=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=$\frac{1}{4}$（n²-1），此時x=$\frac{1}{2}$（n+1）．
當(dāng)n為偶數(shù)．|x-1|+|x-n|≥n-1，|x-2|+|x-（n-1）|≥n-3，…，|x-$\frac{1}{2}$n|+|x-（$\frac{1}{2}$n+1）|≥1，
故y（min）=1+3+5+…+（n-3）+（n-1）=$\frac{1}{4}{n}^{2}$，此時x屬于$[\frac{1}{2}n，\frac{1}{2}n+1]$．
（4）對x分類討論：x≥1時，y=（x-1）+（2x-1）+…+（6x-1）=21x-6，x=1時取得最小值15．
$\frac{1}{2}≤x＜1$時，y=-（x-1）+（2x-1）+…+（6x-1）=19x-4，x=$\frac{1}{2}$時取得最小值$\frac{11}{2}$．
$\frac{1}{3}≤x＜\frac{1}{2}$時，y=-（x-1）-（2x-1）+（3x-1）+…+（6x-1）=15x-2，x=$\frac{1}{3}$時取得最小值3．
$\frac{1}{4}≤x＜\frac{1}{3}$時，y=-（x-1）-（2x-1）-（3x-1）+（4x-1）+…+（6x-1）=9x，x=$\frac{1}{4}$時取得最小值$\frac{9}{4}$．
$\frac{1}{5}≤x＜\frac{1}{4}$時，y=-（x-1）-（2x-1）-（3x-1）-（4x-1）+（5x-1）+（6x-1）=x+2，x=$\frac{1}{5}$時取得最小值$\frac{11}{5}$．
$\frac{1}{6}≤x≤\frac{1}{5}$時，y=-（x-1）-（2x-1）-（3x-1）-（4x-1）-（5x-1）+（6x-1）=-9x+4，x=$\frac{1}{5}$時取得最小值$\frac{11}{5}$．
$x≤\frac{1}{6}$時，y=-（x-1）-（2x-1）-（3x-1）-（4x-1）-（5x-1）-（6x-1）=-21x+6，x=$\frac{1}{6}$時取得最小值$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．